2022年省考:均值不等式巧解利潤最值問題

                在2020年公務員考試中,行政職業能力是國家機關單位選拔公務員職業必考的一門科目,主要包括數量關系、判斷推理、常識判斷、言語理解、資料分析等。行政職業能力測驗主…

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                在2020年公務員考試中,行政職業能力是國家機關單位選拔公務員職業必考的一門科目,主要包括數量關系、判斷推理、常識判斷、言語理解、資料分析等。行政職業能力測驗主要測查與公務員職業密切相關的、適合通過客觀化紙筆測驗方式進行考查的基本素質和能力要素。接下來湖北公務員考試網帶大家一起看一下典型行測試題的解題思路。

                  利潤問題是行測考試中數量關系部分的一種題型,這種題型中有一類考點,即求利潤的最值,此類題目在求解過程中往往會出現一元二次函數,如何簡便快速地求解一元二次函數的極值,下面湖北人事考試網(hbrsks.cc)就為大家介紹一種方法,即利用均值不等式來求解。

                  均值不等式的一種表達形式如下,

                  如果a、b均為非負實數,那么2022年省考:均值不等式巧解利潤最值問題當且僅當a=b時,等號成立。

                  由上述表達式,我們可以得到如下結論:已知a、b均為正數,若a+b為定值,則當且僅當a=b時,ab取得最大值。

                  示例:已知x>0,y>0,且2x+5y=20,則xy的最大值是多少?

                  在這道題目中,2x相當于a,5y相當于b,則a+b=20,是定值,所以當且僅當a=b,即2x=5y時,2x×5y存在最大值,因為2x=5y且加和等于20,所以2x=5y=10,求出2x×5y=10xy=100,即xy最大值為10。

                  例1、某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售增加盈利盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,經調查發現如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件,每件襯衫降低( )元時,商場每天盈利最多。

                  A.12 B.15 C.20 D.25

                  答案選B。接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路:

                  (1)找等量關系,列方程。

                  本題所求為利潤最值問題,結合條件可以得出等量關系:總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元,同時銷量會增加2件,這道題可以設每件襯衫的售價下降了x元,商場的總利潤為y元,那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

                  (2)湊配定和,求極值。

                  y=(40-x)×(20+2x),由前面學習的均值不等式的結論可知,要想求兩部分乘積的最大值,需要這兩部分的加和為定值,而我們會發現40-x和20+2x的加和并不是常數,所以不為定值,那么就需要未知數在加和后抵消掉,則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x),此時40-x與10+x的和為定值,所以當且僅當40-x=10+x,即x=15時,y存在最大值,答案為B。

                  例2、某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿,當每個房間的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,問房價為多少元時賓館利潤最大?

                  A.260 B.280 C.300 D.340

                  【答案】D。解析:總收入最多則利潤最大,所以需要求出總收入的最大值,通過題干條件可得等量關系為:總收入=房間單價×入住房間數量,房價增加會使入住房間數減少,此時可設房價增加了x個10元,總收入為y元,可得y=(180+10x)×(50-x),想求兩個部分乘積的最大值,需要使兩部分加和為定值,可將方程變形為y=10×(18+x)×(50-x),當且僅當18+x=50-x,即x=16時,y取最大值,此時每個房間的價格為180+10×16=340元,故答案為D。

                  通過上述例題我們可以發現,利潤最值問題采用均值不等式的思想來求解是非常簡單的,希望同學們能夠多看幾遍,充分吸收,做到熟能生巧、舉一反三。

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